Module de Young.html

Le physicien britannique Thomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et la déformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que la limite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. Cette constante est le module de Young ou module d'élasticité longitudinal. La loi d'élasticité est la loi de Hooke :

Diagramme contrainte-déformation

$\sigma = E \varepsilon$

où :

$σ$ est la contrainte,
$E$ est le module de Young,
$\varepsilon$ est la déformation.

Le module de Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100% de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : dans les faits, le matériau se déforme de façon permanente, ou se rompt, bien avant que cette valeur soit atteinte.

Un matériau dont le module de Young est très élevé est dit rigide. L'acier, l'iridium, le diamant, sont des matériaux très rigides, l'aluminium et le plomb le sont moins, les matières plastiques et organiques sont généralement peu rigides. Il ne faut cependant pas confondre élasticité et rigidité puisque la rigidité d'une poutre par exemple dépend de son module de Young mais aussi du moment d'inertie de sa section.

Note
Il ne faut pas confondre rigidité et raideur. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les produits et les constructions. Une pièce mécanique massive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier.

Sommaire

1 Unités
2 Expression théorique
3 Relations
4 Les méthodes de mesure du module d'Young
5 Quelques valeurs numériques de modules d'Young
6 Références

modifier Unités

D'après l'équation aux dimensions, le module de Young est homogène à une pression, ou plus précisément une contrainte. L'unité internationale est donc le pascal (Pa). Cependant, en raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général donné en mégapascal (MPa) ou Newton par millimètre carré (N/mm²).

modifier Expression théorique

Dans le cas d'un matériau cristallin et certains matériaux amorphes, le module de Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de la dérivée seconde du potentiel interatomique.

Dans le système d'unités « naturelles » atomique, le module de Young, pour un matériau isotrope, est homogène à¹ :

$E = E_0 = \frac{m^4 q_e^{10}}{\hbar^8}$

où $q_e^2 = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ .

Ceci dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser soit

comme $E 1 = E 0 / (16π 2)$ , soit
comme $E 2 = E 0 / 64π 6$ ,

les ordres de grandeur de $E 1$ ou $E 2$ sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de 100 GPa, qui apparaissent alors relever de ce corpus théorique.

Dans le cas des polymères, c'est l'agitation thermique qui « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module de Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante :

lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module de Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) donc son module de Young augmente ;
lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module de Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) donc son module de Young diminue.

modifier Relations

Avec le module de cisaillement ( $G$ ) et le coefficient de Poisson ( $ν$ )} :

$E = 2(1+\nu)\cdot G$ .

Avec $λ$ et $μ$ appelées coefficients de Lamé :

$E = \frac{(3{\lambda}+2{\mu}){\mu}}{{\lambda}+{\mu}}$ .

modifier Les méthodes de mesure du module d'Young

Le plus simple reste bien sûr de réaliser un essai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module de Young $E$ . Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module de Young de la fréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

On peut aussi mesurer la vitesse du son dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module de Young sachant qu'on a la relation suivante :

$V_{\rm son} \propto \sqrt{\frac{E}{\rho}}$

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi du coefficient de Poisson.

Le module de Young dynamique peut être connu en utilisant par exemple un viscoanalyseur.

modifier Quelques valeurs numériques de modules d'Young

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre. Néanmoins, pour les calculs, on peut considérer en bonne approximation les valeurs suivantes.

Métaux purs
Matériaux	Module (MPa)
Aluminium (Al)	69 000
Argent (Ag)	83 000
Baryum (Ba)	13 000
Béryllium (Be)	240 000
Bismuth (Bi)	32 000
Cadmium (Cd)	50 000
Césium (Cs)	1 700
Chrome (Cr)	289 000
Cobalt (Co)	209 000
Cuivre (Cu)	124 000
Étain (Sn)	41 500
Fer (Fe)	196 000
Germanium (Ge)	89 600
Indium (In)	110 000
Iridium (Ir)	528 000
Lithium (Li)	4 900
Magnésium (Mg)	45 000
Manganèse (Mn)	198 000
Molybdène (Mo)	329 000
Nickel (Ni)	214 000
Niobium (Nb)	105 000
Or (Au)	78 000
Palladium (Pd)	121 000
Platine (Pt)	168 000
Plomb (Pb)	18 000
Plutonium (Pu)	96 000
Rhodium (Rh)	275 000
Rubidium (Rb)	2 400
Ruthénium (Ru)	447 000
Scandium (Sc)	74 000
Sélénium (Se)	10 000
Sodium (Na)	10 000
Tantale (Ta)	186 000
Titane (Ti)	114 000
Tungstène (W)	406 000
Uranium (U)	208 000
Vanadium (V)	128 000
Zinc (Zn)	78 000
Zirconium (Zr)	68 000

Alliages
Matériaux	Module (MPa)
Acier de construction	210 000
Acier à ressorts	220 000
Acier inoxydable 18-10	203 000
Bronze (cuivre + 9 à 12% d'étain)	124 000
Bronze au Béryllium	130 000
Cuivre laminé U4 (Recuit)	90 000
Cuivre laminé U4 (Écroui dur)	150 000
Duralumin AU4G	75 000
Fontes	83 à 170 000
Hastelloy B2 (Ni + Mo)	217 000
Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo)	206 000
Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe)	212 à 218 000
Invar	140 000
Monel 400 (Ni + Cu)	173 000
Nimonic 90 (Ni + Cr + Co)	213 à 240 000
Nispan (Ni + Cr + Ti)	165 à 200 000
Phynox (Co + Cr + Ni + Mo)	203 400

Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Matériaux	Module (MPa)
Arsenic (As)	8 000
Arséniure de gallium (AsGa)	85 500
Béton	25 000
Brique	14 000
Calcaire (carbonate de calcium CaCO₃, pierres)	20 à 70 000
Carbure de chrome (Cr₃C₂)	373 130
Carbure de silicium (SiC)	450 000
Carbure de Titane (TiC)	440 000
Carbure de tungstène (WC)	650 000
Diamant (C)	1 000 000
Graphite	30 000
Granite	60 000
Marbre	26 000
Mullite (Al₆Si₂O₁₃)	145 000
Alumine (Oxyde d'Aluminium Al₂O₃)	390 000
Oxyde de béryllium (BeO)	30 000
Oxyde de magnésium (MgO)	250 000
Oxyde de zirconium (ZrO)	200 000
Saphir	420 000
Silice (oxyde de silicium SiO₂)	107 000
Titanate d'aluminium (Ti₃Al)	140 000
Titanate de baryum (BaTiO₃)	67 000
Verre	69 000

Bois
Matériaux	Module (MPa)
Acajou (Afrique)	12 000
Bambou	20 000
Bois de rose (Brésil)	16 000
Bois de rose (Inde)	12 000
Chêne	12 000
Contreplaqué glaw	12 400
Épicéa	13 000
Érable	10 000
Frêne	10 000
Papier	3 000 à 4 000
Séquoia	9 500

N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (bois = matériau anisotrope). Dans une même essence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de la densité (qui n'est évidemment pas constante, bois = matériau hétérogène) et d'autres caractéristiques (longueur des fibres...).

Polymères, fibres
Matériaux	Module (MPa)
caoutchoucs	700 à 4 000²
Fibre de carbone haut module	640 000
Fibre de carbone haute résistance	240 000
Kevlar	34 500
Nanotubes (Carbone)	1 100 000
Nylon	2 000 à 5 000
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle)	2 380
Polyamide	3 000 à 5 000
Polycarbonate	2 300
Polyéthylène	200 à 700
Polystyrène	3 000 à 3 400
Résines époxy	3 500

Biomatériaux
Matériaux	Module (MPa)
Cartilage	24
Cheveux	10 000
Collagène	6
Fémur	17 200
Humérus	17 200
Piquant d'oursin	15 000 à 65 000
Radius	18 600
Soie d'araignée	60 000
Tibia	18 100
Vertèbre cervicale	230
Vertèbre lombaire	160

modifier Références

↑ Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l'état solide (Solid state physics), 1998 détail des éditions , chapitre 3.
↑ Pourquoi le caouthouc s'étire?

Ch.KITTEL , physique du solide, ed Dunod ; chapitre : constantes d'élasticité.

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