Topologia (matematiikka).html

Tämä artikkeli käsittelee matematiikan osa-aluetta. Katso täsmennyssivu muille merkityksille.

Kahvikupin muunnos torukseksi

Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms.

Siinä, missä geometriassa tärkeitä ovat pituudet ja pinta-alat, geometrinen topologia kiinnittää huomiota muotoon.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muutoksella". Tästä anekdootti: "Topologi on matemaatikko, joka ei erota kahvikuppia munkkirinkilästä." (John Kelley, In N. Rose, Mathematical Maxims and Minims)

Teknisenä terminä topologia tarkoittaa topologisen avaruuden avoimien joukkojen kokoelmaa. Topologialta vaaditaan että

Koko avaruuden perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen
Topologian joukkojen mielivaltaiset yhdisteet kuuluvat myös topologiaan
Topologian joukkojen äärelliset leikkaukset kuuluvat myös topologiaan

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden $X$ topologiaan kuuluvat ainakin alkiot $\emptyset$ ja $X$ . Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttavat myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös $X$ :n potenssijoukko on eräs $X$ :n topologia, diskreetti topologia. Siten $X$ :n indiskreettitopologia on aina $X$ :n diskreetin topologian osajoukko. Yleisesti jos $T 1$ ja $T 2$ ovat joukon $X$ kaksi topologiaa ja $T_1 \subset T_2$ , sanotaan että $T 1$ on karkeampi eli heikompi kuin $T 2$ . Vastaavasti topologia $T 2$ on hienompi eli vahvempi kuin $T 1$ . Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

Topologia (matematiikka).html

muokkaa Käsitteitä

muokkaa Katso myös