Luonnollinen luku.html

Luonnollisia lukuja voidaan käyttää asioiden laskemiseen (yksi omena, kaksi omenaa, kolme omenaa,...)

Luonnollisten lukujen joukkoon $\mathbb{N}$ kuuluvat määritelmästä riippuen joko positiiviset $\{1, 2, 3, \dots\}$ tai epänegatiiviset $\{0, 1, 2, \dots\}$ kokonaisluvut. Se, kuuluuko nolla luonnollisiin lukuihin, on siis sopimuksenvarainen asia, ja matemaattisissa teksteissä määrittely riippuu viime kädessä kirjoittajan tottumuksesta. Tulkinnanvaraisuuden poistamiseksi voidaan käyttää merkintää $\mathbb{N}^{*}$ joukosta, johon nolla ei sisälly, ja merkintää $\mathbb{N}_0$ joukosta, johon nolla sisältyy.

Luonnolliset luvut ovat helppoutensa vuoksi ensimmäiset lapsille opetettavat luvut. Luonnollisilla luvuilla on kaksi päätarkoitusta: niitä voidaan käyttää laskemiseen ("pöydällä on kolme omenaa") tai niillä voidaan ilmaista järjestystä. Lukuteoria tutkii luonnollisten lukujen syvällisempiä ominaisuuksia, kuten alkulukujen jakaumaa.

Luonnollisten lukujen joukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen, eli laskettaessa yhteen tai kerrottaessa keskenään kaksi luonnollista lukua saadaan aina tulokseksi luonnollinen luku. Sen sijaan vähennyslaskun ja jakolaskun suhteen luonnollisten lukujen joukko ei ole suljettu, sillä esimerkiksi laskuilla 1−2 ja 1 ÷ 2 ei ole vastausta joukossa $\mathbb N$ . Jos halutaan että jokaiselle luonnollisten lukujen vähennyslaskulle löytyy ratkaisu, täytyy lukualueeseen ottaa mukaan myös negatiiviset luvut, jotka yhdessä luonnollisten lukujen kanssa muodostavat kokonaislukujen joukon Z. Vastaavasti jakolasku pakottaa laajentamaan lukualueen rationaalilukuihin Q.

muokkaa Luonnollisten lukujen ominaisuuksia

Olkoot $a, b, c \in \mathbb N$ . Tällöin

$a + (b + c) = (a + b) + c \,$ ja $a(bc) = (ab)c \,$ (Liitäntälaki)
$a + b = b + a \,$ ja $ab = ba\,$ (Vaihdantalaki)
$a(b + c) = ab + ac \,$ (Osittelulaki)
$a + 0 = a \,$ (jos 0 kuuluu joukkoon, se on yhteenlaskun neutraalialkio)
$1a = a \,$ (1 on kertolaskun neutraalialkio)
$a < b \,$ tai $a = b \,$ tai $a > b \,$ (Trikotomia)
jos $a < b \,$ ja $b < c \,$ , niin $a < c \,$ (Transitiivisuus)